朝から外が暗く、肌寒い。今日は雨の一日になるようだ。 珈琲、キウィとヨーグルトで目を覚ましてから朝食の支度。 目刺し、納豆、茄子の糠漬、しめじと若布の味噌汁、御飯。 お弁当を適当に詰めて出勤。 昼食は持参のお弁当。 豚肉の味噌焼き、キャベツ千切り、酢大豆玉葱、えのき茸の塩蒸し、御飯。 夕方退社。 冷たい雨の中を帰宅して、まずお風呂に入って身体を温めてから、夕食の支度。 安物の日本酒を冷やで五勺ほどで冷奴、えのき茸の塩蒸し、母の手製の筍と蕗の煮物。 そのあと、出来合いの鰻の蒲焼で櫃まぶし、しめじと若布の味噌汁、茄子の糠漬。
昨日の
「壊れた数字錠」
パズルの解答。
必要かつ十分なトライの回数は 32 回。
数学的な問題を考える方法は人によって色々だが、
私自身はとりあえず幾何的な直観に頼るタイプだ。
鍵の可能性は 8x8x8 で 512 通りある。
これを角砂糖のような小さなキューブを 8 行 8 列 8 段に積んだ立方体で考えよう。
つまり x 行目の y 列目の z 段目にあるキューブを"xyz"という鍵だと思う。
このとき、ある鍵をチェックすると、錠が壊れていることから、
その鍵に対応するキューブの他、
そのキューブの左右、前後、上下方向にある 7 個ずつの 21 個のキューブも調べたことになる。
よって問題は、できるだけ少ないキューブをチェックすることで立方体全体を調べなさい、
という幾何的な問題に言い換えられる。
このイメージを用いるとすぐに、立方体全体ではなくて、
手前の角の 4x4x4 の小さな立方体とその対角の向こう側にある小さな立方体の中だけ考えれば十分なことに気付く。
さらに対称性より、手前だけ調べれば向こう側も同じだ。
これなら簡単な試行錯誤で、チェックすべき 16 個のキューブが発見できる。
結局、全体で 32 個チェックすれば十分。ここまでは易しい。
あとは「31 個以下ではどうしてもカバーできない」ことを証明しなければならない。 これをきっちり論理的に詰めるのが難しい。 このパズルの難易度が高いのは、このパートをきちんと示すのに数学的な証明能力が必要だからである。 とは言え、幾何的な直観が役立つのは同じ。 例えば、「鳩箱論法」の類似より、 31 個でカバーできたとしたらどこかの段には 3 個以下しかチェックすべきキューブがない。 この 3 個がある段は一番下の段だと仮定しても一般性を失わない。 さらにこの 3 個はこの位置にあると仮定してもよい……という感じで、 状態を絞り込んでおいてから、カバーしているキューブの個数を勘定すれば良いのだが、詳しくは省略。
"Mathematical Mind-Bender"(P.Winkler著/A K Peters)によれば、 このパズルは 1988 年に東ドイツで開催された数学オリンピックに初出とのこと。
